圆周角定理逆定理的证明(优秀范文五篇)

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第一篇：弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角CAE=角ABC，求证AE是圆O的切线

证明：连接AO并延长交圆O于D，连接CD，则角ADC=角ABC=角CAE

而AD是直径，因此角ACD=90度，所以角DAC=90度-角ADC=90度-角CAE

所以角DAE=角DAC+角CAE=90度

故AE为切线

第二篇：圆幂定理及其证明

圆幂定理

圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OPR

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

DA22PC

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPDAPBPPCPD PCBP（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

TPAB

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPAPT2PAPB PBPT（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在：PAPBPCPD 进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则

PCPD(POR)(POR)PO2R2|PO2R2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为R2PO2|PO2R2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

第三篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第四篇：个圆幂定理及其证明

相交弦定理

如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD

证明：

连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.切割线定理

如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为则TC²=TA·TB

证明：连接AC、BC

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC

∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=AT·BT

弦切角定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半径

AO=AO公共边

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割线定理

如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

第五篇：弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,那么

.(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.