圆周角定理的逆定理证明(范文六篇)

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第一篇：圆周角

第一课时 圆周角(一)

教学目标:

(1)理解圆周角的概念,把握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用;

(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力;

(3)渗透由“非凡到一般”,由“一般到非凡”的数学思想方法.

教学重点:圆周角的概念和圆周角定理

教学难点:圆周角定理的证实中由“一般到非凡”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.

教学活动设计:(在教师指导下完成)

(一)圆周角的概念

1、复习提问:

(1)什么是圆心角?

答:顶点在圆心的角叫圆心角.

(2)圆心角的度数定理是什么?

答:圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如右图)

2、引题圆周角:

假如顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠acb,它就是圆周角.(如右图)(演示图形,提出圆周角的定义)

定义:顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、概念辨析:

教材p93中1题:判定下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.

学生归纳:一个角是圆周角的条件:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.

(二)圆周角的定理

1、提出圆周角的度数问题

问题:圆周角的度数与什么有关系?

经过电脑演示图形,让学生观察图形、分析圆周角与圆心角,猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注重弧所对的圆周角的三种情况:圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部.

(在教师引导下完成)

(1)当圆心在圆周角的一边上时,圆周角与相应的圆心角的关系:(演示图形)观察得知圆心在圆周角上时,圆周角是圆心角的一半.

提出必须用严格的数学方法去证实.

证实:(圆心在圆周角上)

(2)其它情况,圆周角与相应圆心角的关系:

当圆心在圆周角外部时(或在圆周角内部时)引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.

证实:作出过c的直径(略)

圆周角定理: 一条弧所对的

周角等于它所对圆心角的一半.

说明:这个定理的证实我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法;在证实中,后两种都化成了第一种情况,这体现数学中的化归思想.(对a层学生渗透完全归纳法)

(三)定理的应用

1、例题: 如图 oa、ob、oc都是圆o的半径, ∠aob=2∠boc.

求证:∠acb=2∠bac

让学生自主分析、解得,教师规范推理过程.

说明:①推理要严密;②符号应用要严格,教师要讲清.

2、巩固练习:

(1)如图,已知圆心角∠aob=100°,求圆周角∠acb、∠adb的度数?

(2)一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的圆周角的度数?

说明:一条弧所对的圆周角有无数多个,却这条弧所对的圆周角的度数只有一个,但一条弦所对的圆周角的度数只有两个.

(四)总结

知识:(1)圆周角定义及其两个特征;(2)圆周角定理的内容.

思想方法:一种方法和一种思想:

在证实中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.

(五)作业 教材p100中 习题a组6,7,8

第二、三课时 圆周角(二、三)

教学目标:

(1)把握圆周角定理的三个推论,并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证实;

(2)进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力;

(3)培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.

教学重点:圆周角定理的三个推论的应用.

教学难点:三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.

教学活动设计:

(一)创设学习情境

问题1:画一个圆,以b、c为弧的端点能画多少个圆周角?它们有什么关系?

问题2:在⊙o中,若 = ,能否得到∠c=∠g呢?根据什么?反过来,若土∠c=∠g ,是否得到 = 呢?

(二)分析、研究、交流、归纳

让学生分析、研究,并充分交流.

注重:①问题解决,只要构造圆心角进行过渡即可;②若 = ,则∠c=∠g;但反之不成立.

老师组织学生归纳:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.

重视:同弧说明是“同一个圆”; 等弧说明是“在同圆或等圆中”.

问题: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所对的圆周角一定相等吗?(学生通过交流获得知识)

问题3:(1)一个非凡的圆弧――半圆,它所对的圆周角是什么样的角?

(2)假如一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

学生通过以上两个问题的解决,在教师引导下得推论2:

推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦直径.

指出:这个推论是圆中一个很重要的性质,为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件,要熟练把握.

启发学生根据推论2推出推论3:

推论3:假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形.

指出:推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.

(三)应用、反思

例1、如图,ad是△abc的高,ae是△abc的外接圆直径.

求证:ab・ac=ae・ad.

对a层同学,让学生自主地分析问题、解决问题,进行生生交流,师生交流;其他层次的学生在教师引导下完成.

交流:①分析解题思路;②作辅助线的方法;③解题推理过程(要规范).

解(略)

教师引导学生思考:(1)此题还有其它证法吗? (2)比较以上证法的优缺点.

指出:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.

变式练习1:如图,△abc内接于⊙o,∠1=∠2.

求证:ab・ac=ae・ad.

变式练习2:如图,已知△abc内接于⊙o,弦ae平分

∠bac交bc于d.

求证:ab・ac=ae・ad.

指出:这组题目比较典型,圆和相似三角形有密切联系,证实圆中某些线段成比例,经常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.

例2:如图,已知在⊙o中,直径ab为10厘米,弦ac为6厘米,∠acb的平分线交⊙o于d;

求bc,ad和bd的长.

解:(略)

说明:充分利用直径所对的圆周角为直角,解直角三角形.

练习:教材p96中1、2

(四)小结(指导学生共同小结)

知识:本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色,作用各异,在今后的学习中应用十分广泛,应熟练把握.

能力:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角或构成相似三角形,这种基本技能技巧一定要把握.

(五)作业

教材p100.习题a组9、10、12、13、14题;另外a层同学做p102b组3,4题.

探究活动

我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”,但当角的顶点在圆外(如图①称圆外角)或在圆内(如图②称圆内角),它的度数又和什么有关呢?请探究.

提示:(1)连结bc,可得∠e= ( 的度数― 的度数)

(2)延长ae、ce分别交圆于b、d,则∠b= 的度数,

∠c= 的度数,

∴∠aec=∠b ∠c= ( 的度数 的度数).

第二篇：勾股定理的逆定理的证明

用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理”——反证法

湛江市爱周中学伍彩梅

八年级数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么abc”。

勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容是：“如果三角形的三边长a、b、c满足abc，那么这个三角形是直角三角形”。

这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。

定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而

课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”——反证法。表述如下：

已知△ABC的三边长a、b、c满足abc，求证：△ABC是直角三角形。用反证法证明如下：

由abc，可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。

分两种情况进行。

（一）假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。如图（1）222222222222

B

图（1）

过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。如图（2）

图（2）

在图（2）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a1(bb1)2c2（1）

a1b1a2（2）

22由（1）得a1b12bb1bc（3）22222

把（2）代入（3）得a2b22bb1c2（4）

对比已知条件abc

可得b10

把b10代入（2）得a1a2，则a1a

因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

（二）假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。如图(3)2222

B

c a

A

b

图（3）C

过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4）

B

c a

a1

Ab

b D C b2

图（4）

其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1b2b

在图（4）中，△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

22a1b1c2（5）

a1b2a2（6）

把（5）-（6）得

2222c2a2b1b2(b1b2)(b1b2)b(b2b2)b22bb2

整理得

c2a2b22bb2（7）

对比已知条件abc

得b20

所以b1b

则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以△ABC是直角三角形。

因此，勾股定理的逆定理得到证明。

2007-3-12 222

第三篇：弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第四篇：圆周角

教学任务分析

教学目标

知识技能

1.了解圆周角与圆心角的关系.

2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.

3.能运用圆周角的性质解决问题.

数学思考

1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.

2.通过观察图形，提高学生的识图能力.

3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.

解决问题

在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题

情感态度

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.

重点

圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.

难点

发现并论证圆周角定理.

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1 创设情景，提出问题

活动2 探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系

活动3 发现并证明圆周角定理

活动4 圆周角定理应用

活动5 小结，布置作业

从实例提出问题，给出圆周角的定义.

通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系.

探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理.

反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用.

回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西.

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

[活动1 ]

问题

演示课件或图片（教科书图24.1-11）：

（1）如图：同学甲站在圆心的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置，他们的视角（和）有什么关系？

（2）如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置和，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？

教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.

教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物.

教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题.

教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧所对的圆心角与圆周角、同弧所对的圆周角（、等）之间的大小关系.教师引导学生进行探究.

本次活动中，教师应当重点关注：

（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；

（2）学生是否理解了示意图；

（3）学生是否理解了圆周角的定义.

（4）学生是否清楚了要研究的数学问题.

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学.

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法.

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.

［活动2］

问题

（1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？

（2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？

教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论.

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现.教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：

（1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；

（2）改变圆心角的度数；3.改变圆的半径大小.

本次活动中，教师应当重点关注：

（1）学生是否积极参与活动；

（2）学生是否度量准确，观察、发现的.结论是否正确.

活动2的设计是为 引导学生发现.让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系.

［活动3］

问题

（1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？

（2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？

（3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？

教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论.

教师巡视，请学生回答问题.回答不全面时，请其他同学给予补充.

教师演示圆心与圆周角的三种位置关系.

本次活动中，教师应当重点关注：

（1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

（2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系.学生是否积极参与活动.

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论.

学生写出已知、求证，完成证明.

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动.启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化.教师讲评学生的证明，板书圆周角定理.

本次活动中，教师应当重点关注：

（1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化

（2）学生添加辅助线的合理性.

（3）学生是否会利用问题2的结论进行证明.

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学.通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法.学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题.活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明.培养学生严谨的治学态度.

问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题.培养学生思维的深刻性.

问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般.学会运用化归思想将问题转化.并启发培养学生创造性的解决问题

［活动4］

问题

（1）半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？

（2）90°的圆周角所对的弦是什么?

（3）在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？

（4）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？

（5）如图，点、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？

（6）如图, ⊙O的直径AB 为10cm，弦AC 为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D, 求BC、AD、BD的长.

学生独立思考，回答问题，教师讲评.

对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数.

对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°,从而得出所对的弦是直径.

对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由.教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件.

对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等.

对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角.

对于问题（6），教师应重点关注

（1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；

（2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解.

（3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等,进而推出AD=BD.

活动4的设计是圆周角定理的应用.通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用.问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论.问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件.问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移.问题5、6是定理的应用.即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解.教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果.

［活动5］

小结

通过本节课的学习你有哪些收获？

布置作业.

（1）阅读作业：阅读教科书P90―93的内容.

（2）教科书P94 习题24.1第2、3、4、5题.

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容.

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握.

教师布置作业.

通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.

增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解.

课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展.

第五篇：圆周角

第一课时 （一）

教学目标：

（1）理解的概念,掌握的两个特征、定理的内容及简单应用；

（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；

（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.

教学重点：的概念和定理

教学难点：定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.

教学活动设计：（在教师指导下完成）

（一）的概念

1、复习提问：

（1）什么是圆心角？

答：顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）圆心角的度数定理是什么？

答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）

2、引题：

如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是.（如右图）（演示图形，提出的定义）

定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做

3、概念辨析：

教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是，并说明理由.

学生归纳：一个角是的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

（二）的定理

1、提出的度数问题

问题：的度数与什么有关系？

经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析与圆心角，猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注意弧所对的的三种情况：圆心在的一边上、圆心在内部、圆心在外部.

（在教师引导下完成）

（1）当圆心在的一边上时，与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在上时，是圆心角的一半.

提出必须用严格的数学方法去证明.

证明:(圆心在上)

（2）其它情况，与相应圆心角的关系：

当圆心在外部时（或在内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时仍然等于相应的圆心角的结论.

证明：作出过C的直径（略）

定理: 一条弧所对的

周角等于它所对圆心角的一半.

说明：这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法）

（三）定理的应用

1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB=2∠BOC.

求证：∠ACB=2∠BAC

让学生自主分析、解得，教师规范推理过程.

说明：①推理要严密；②符号应用要严格，教师要讲清.

2、巩固练习:

（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求∠ACB、∠ADB的度数？

（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的的度数？

说明：一条弧所对的有无数多个，却这条弧所对的的度数只有一个，但一条弦所对的的度数只有两个.

（四）总结

知识：（1）定义及其两个特征；（2）定理的内容.

思想方法：一种方法和一种思想：

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.

（五）作业 教材P100中 习题A组6,7,8

第二、三课时 （二、三）

教学目标：

（1）掌握定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；

（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；

（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.

教学重点：定理的三个推论的应用.

教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.

教学活动设计：

（一）创设学习情境

问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若 =，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 =呢？

（二）分析、研究、交流、归纳

让学生分析、研究，并充分交流.

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若 =，则∠C=∠G；但反之不成立.

老师组织学生归纳：

推论1：同弧或等弧所对的相等；在同圆或等圆中，相等的所对的弧也相等.

重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”.

问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的一定相等吗？（学生通过交流获得知识）

问题3：（1）一个特殊的圆弧――半圆，它所对的是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论2：

推论2： 半圆（或直径）所对的是直角；90°的所对的弦直径.

指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握.

启发学生根据推论2推出推论3：

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形.

指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

（三）应用、反思

例1、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.

求证：AB・AC＝AE・AD.

对A层同学，让学生自主地分析问题、解决问题，进行生生交流，师生交流；其他层次的学生在教师引导下完成.

交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）.

解（略）

教师引导学生思考：（1）此题还有其它证法吗? （2）比较以上证法的优缺点.

指出：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的，以便利用直径上的是直角的性质.

变式练习1：如图，△ABC内接于⊙O，∠1=∠2.

求证：AB・AC＝AE・AD.

变式练习2：如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AE平分

∠BAC交BC于D.

求证：AB・AC＝AE・AD.

指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系，证明圆中某些线段成比例，常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.

例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；

求BC，AD和BD的长.

解：(略)

说明：充分利用直径所对的为直角，解直角三角形.

练习：教材P96中1、2

（四）小结（指导学生共同小结）

知识：本节课主要学习了定理的三个推论.这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握.

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握.

（五）作业

教材P100.习题A组9、10、12、13、14题；另外A层同学做P102B组3，4题.

探究活动

我们已经学习了“的度数等于它所对的弧的度数的一半”，但当角的顶点在圆外（如图①称圆外角）或在圆内（如图②称圆内角），它的度数又和什么有关呢？请探究.

提示：（1）连结BC，可得∠E=（ 的度数― 的度数）

（2）延长AE、CE分别交圆于B、D，则∠B=的度数，

∠C=的度数，

∴∠AEC=∠B+∠C=（ 的度数+ 的度数）.

第六篇：圆周角

第一课时 圆周角（一）

教学目标：

（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；

（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.

教学重点：圆周角的概念和圆周角定理

教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.

教学活动设计：（在教师指导下完成）

（一）圆周角的概念

1、复习提问：

（1）什么是圆心角？

答：顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）圆心角的度数定理是什么？

答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）

2、引题圆周角：

如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角.（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义）

定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、概念辨析：

教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由.

学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

（二）圆周角的定理

1、提出圆周角的度数问题

问题：圆周角的度数与什么有关系？

经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部.

（在教师引导下完成）

（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.

提出必须用严格的数学方法去证明.

证明:(圆心在圆周角上)

（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.

证明：作出过C的直径（略）

圆周角定理: 一条弧所对的

周角等于它所对圆心角的一半.

说明：这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法）

（三）定理的应用

1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB=2∠BOC.

求证：∠ACB=2∠BAC

让学生自主分析、解得，教师规范推理过程.

说明：①推理要严密；②符号应用要严格，教师要讲清.

2、巩固练习:

（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个.

（四）总结

知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容.

思想方法：一种方法和一种思想：

在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.

（五）作业 教材P100中 习题A组6,7,8

第二、三课时 圆周角（二、三）

教学目标：

（1）掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；

（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；

（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.

教学重点：圆周角定理的三个推论的应用.

教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.

教学活动设计：

（一）创设学习情境

问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？

问题2：在⊙O中，若 =，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 =呢？

（二）分析、研究、交流、归纳

让学生分析、研究，并充分交流.

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若 =，则∠C=∠G；但反之不成立.

老师组织学生归纳：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”.

问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）

问题3：（1）一个特殊的圆弧――半圆，它所对的圆周角是什么样的角？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?

学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论2：

推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径.

指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握.

启发学生根据推论2推出推论3：

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形.

指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

（三）应用、反思

例1、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.

求证：AB·AC＝AE·AD.

对A层同学，让学生自主地分析问题、解决问题，进行生生交流，师生交流；其他层次的学生在教师引导下完成.

交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）.

解（略）

教师引导学生思考：（1）此题还有其它证法吗? （2）比较以上证法的优缺点.

指出：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角的性质.

变式练习1：如图，△ABC内接于⊙O，∠1=∠2.

求证：AB·AC＝AE·AD.

变式练习2：如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AE平分

∠BAC交BC于D.

求证：AB·AC＝AE·AD.

指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系，证明圆中某些线段成比例，常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.

例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；

求BC，AD和BD的长.

解：(略)

说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形.

练习：教材P96中1、2

（四）小结（指导学生共同小结）

知识：本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握.

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握.

（五）作业

教材P100.习题A组9、10、12、13、14题；另外A层同学做P102B组3，4题.

探究活动

我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”，但当角的顶点在圆外（如图①称圆外角）或在圆内（如图②称圆内角），它的度数又和什么有关呢？请探究.

提示：（1）连结BC，可得∠E=（ 的度数― 的度数）

（2）延长AE、CE分别交圆于B、D，则∠B=的度数，

∠C=的度数，

∴∠AEC=∠B+∠C=（ 的度数+ 的度数）.