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第一篇：圆的相关定理复习
圆的相关定理
1.圆的定义:________________________________________________________.
2.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且______________________________.
3.圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，如果有两个圆心角相等，那么这两个圆心角所夹的弧相等，所对的______相等,所对的________相等.
4.圆周角定理:圆周角的度数等于它所夹弧所对的____________________的一半.
5.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,那么__________相等,并且这一点和圆心的连线______两条切线的夹角.
6.弦切角定理:从圆上一点引圆的一条切线和一条弦,弦切角等于它所夹_____对的______角.
7.相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的乘积__________.
8.切割线定理:从圆外一点引圆的一条切线和一条割线,那么切线长的平方等于这一点到圆上两个点之间的两条线段的乘积.
9.圆内接四边形定理:圆内接四边形的对角______,每一个外角等于其内对角.
10.___________的三点确定一个圆.三角形的外接圆是指______________________,此时三角形是圆的_______三角形,圆心是三角形的_____心;三角形的内切圆是指__________________,此时三角形是圆的_______三角形,圆心是三角形的_____心.
11.点与圆的位置关系有_____种,分别是____________,___________,__________; 直线与圆的位置关系有______种,分别是
_____________,______________,_______________;
圆与圆的位置关系有________种,分别是
_________,_________,________,_________,____________.
12.圆的切线的识别定理:_______________________________________________
________________________________________.
13.在半径为r的圆中,面积为S=_______.周长C=______,若一个扇形的圆心角为
n,则扇形弧长为____________,面积为__________________________________
14.圆锥的侧面展开图是_____,已知母线长为a,底面圆半径为r,则侧面积为_________,全面积为___________________.
15.圆柱的侧面展开图是______,已知母线长为a,底面圆半径为r,则侧面积为_________,全面积为___________________.
第二篇：圆相关定理
弦切角定理
一、弦切角
1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
二、弦切角定理
1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
2、弦切角定理证明（分三种情况讨论）：
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角定理
①圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
②圆心O在∠BAC的内部
过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E，连接EC、ED、EA∴∠CED=∠CAD ∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
③圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于DB
∴∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
三、弦心角推论
1、推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
2、应用：
Eg.如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
圆幂定理——相交弦定理
一、相交弦定理
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
几何语言：
∵弦AB、CD交于点P ∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 P.S.1、几何中比例中项的概念：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。
22、性质：b=a*c
几何语言：
∵AB是直径，CD垂直AB于点P
2∴PC=PA·PB（相交弦定理推论）
二、相交弦定理证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论
得∠A=∠D，∠C=∠B（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）
∴△PAC∽△PDB，
∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
圆幂定理——切割线定理
一、切割线定理
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线2∴PT=PA·PB（切割线定理）
2、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）/(割线定理）
2由上可知:PT
=PA·PB
2即PT=PC·PD
二、切割线定理证明
已知：如图ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，
2证明：PT=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
2即：PT=PA·PB
圆幂定理——割线定理
一、割线定理
1、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等 从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD。如图所示。(LT是
切线）
二、割线定理证明
已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线
证明：PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，
∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP,
即PA·PB=PC
·PD
第三篇：圆的有关证明相关定理
平面几何证明相关定理、题型及条件的联想
一、平面几何证明相关定理
1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方；
4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
5、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
6、圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必经过切点。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
8、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
重要结论：经过不共线三点的圆有且只有一个
二、平面几何证明问题形式及处理方向
1、线段等比式的证明——利用三角形相似证明
2、线段的等积式证明——转化成等比式，利用三角形相似证明，或者等比中项式进行等量代换证明
3、等比中项式证明——可以通过三角形相似，切割线定理，直角三角形射影定理证明
4、线段相等证明——如果它们在一个三角形中，则证明它们所对的角相等，如果不在同一个三角形中，则通过等量代换证明即可
5、四点共圆的证明——证明四点形成的三角形对角互补或是证明该四边形中同一条边对应的两个角相等
6、直线与圆相切的证明——连接圆心与直线与圆的交点，证明半径与该直线垂直即可
7、角相等的证明——通过三角形相似证明或是等量代换证明
8、三角形相似的证明——通过证明两个三角形中有两组角对应相等或是一组角相等，且夹这个的两边对应成比例
三、平面几何证明条件的发散思维
1、条件中有直径——联想——直径所对的圆周角是直角，
2、条件中的切线——联想——切割线定理，弦切角定理，连接圆心与与切点，半径与切线垂直
3、直角三角形斜边上的高——联想——直角三角形射影定理
4、条件中圆内接四边形——联想——圆内角四边形对角互补，圆内接四边形外角等于内对角
5、条件中弧相等——联想——它们所对的圆周角相等
6、条件中线段相等——联想——如果在同一个三角形中，则它们所对的角相等
