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平面几何证明相关定理、题型及条件的联想
一、平面几何证明相关定理
1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方；
4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
5、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
6、圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必经过切点。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
8、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
重要结论：经过不共线三点的圆有且只有一个
二、平面几何证明问题形式及处理方向
1、线段等比式的证明——利用三角形相似证明
2、线段的等积式证明——转化成等比式，利用三角形相似证明，或者等比中项式进行等量代换证明
3、等比中项式证明——可以通过三角形相似，切割线定理，直角三角形射影定理证明
4、线段相等证明——如果它们在一个三角形中，则证明它们所对的角相等，如果不在同一个三角形中，则通过等量代换证明即可
5、四点共圆的证明——证明四点形成的三角形对角互补或是证明该四边形中同一条边对应的两个角相等
6、直线与圆相切的证明——连接圆心与直线与圆的交点，证明半径与该直线垂直即可
7、角相等的证明——通过三角形相似证明或是等量代换证明
8、三角形相似的证明——通过证明两个三角形中有两组角对应相等或是一组角相等，且夹这个的两边对应成比例
三、平面几何证明条件的发散思维
1、条件中有直径——联想——直径所对的圆周角是直角，
2、条件中的切线——联想——切割线定理，弦切角定理，连接圆心与与切点，半径与切线垂直
3、直角三角形斜边上的高——联想——直角三角形射影定理
4、条件中圆内接四边形——联想——圆内角四边形对角互补，圆内接四边形外角等于内对角
5、条件中弧相等——联想——它们所对的圆周角相等
6、条件中线段相等——联想——如果在同一个三角形中，则它们所对的角相等
