极限存在准则证明收敛(优秀范文五篇)

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第一篇：数列极限的收敛准则

第一讲 数列极限

一、数列极限的收敛准则

1.数列极限的夹逼准则

a)数列{xn}，{yn}，{zn}满足：

i.yn＃xnzn(n N0)

ii.nlimyn=nlimzn=a

则数列{xn}的极限存在，且nlimxn=a

b)例

1、求极限n!

nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln

1例

2、求极限lim1+2n+nnn

n(3)注：nlima=1(a>0)

骣1n

练习：

1、1n

nlimç? çç桫1+n+

1n÷÷

2÷÷ 注：运用重要极限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak为正常数, kÎZ+.)

2.单调数列的收敛准则

a)单调增加有上界的数列必收敛；

b)单调递减有下界的数列必收敛；

通常说成：单调有界的数列必收敛。

例1． 证明lim(1

1n)n

n+=e 注：补充二项式定理

例2．

设x1=10，xn+1={xn}极限存在，并求其极限。例3．

设x1=xn+1={xn}极限存在，并求其极限。注：补充数学归纳法例

1、证明1+3+L+(2n-1)=n2 例

2、证明1+++L+

1、有界数列是否收敛？

2、数列{xn}收敛是否可推出数列xn}收敛？反之是否成立？

13、数列xn为有界数列，且limyn=0，数列数列xnyn是否收敛？ n{}{}

二、收敛数列的性质

1.极限的唯一性。

2.有界性。问题：有界数列是否收敛？

3.保号性。问题：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n

4.收敛数列的子数列必收敛。

思考：（1）数列xn与yn都发散，是否数列xnyn与xn+yn也都发散？

（2）若子列x2n-1与x2n均收敛，则数列xn是否收敛？

（3）设x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1骣1÷÷=çx+，证明数列{xn}极限存在，并求其极限。ç÷nç÷2çxn桫

nn（4）求lim2+3+4n(nn

骣12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫

（6）设数列xn满足：0ìïn2+ïï当n为奇数ïn（7）数列xn=í，则当nï1ï当n为偶数ïïnïî时，xn是

A无穷小量B无穷大量C有界变量D无界变量2