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第一篇：证明直线与圆相切的方法
证明直线与圆相切的方法
在我们平凡的日常里，大家高中数学免不了要接触或直线与圆相切吧，以下是小编帮大家整理的证明直线与圆相切的方法，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
证明直线与圆相切主要有以下两种方法：
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。
例1. （2004年江苏省淮安市中考题）
已知：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。
图1
（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与⊙O相切。
证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，
得
，则OD⊥BC
所以
因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF
从而
即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。
例2. （2002年湖北省黄冈市中考题）
如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。
（1）求证：AP是⊙O的切线。
（2）略。
图2
证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD
所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB
所以∠POB＝∠APD
由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°
即∠APD＋∠OPC＝90°
所以AP是⊙O的切线
二、根据直线与圆的.位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。
例3. （2003年甘肃省中考题）
如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r＝2.4时，AB与圆有怎样的位置关系？为什么？
图3
解：作CD⊥AB，垂足为D，则
由CD・AB＝AC・BC得：
即AB与圆相切。
例4. 如图4，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，且AC＋BD＝AB，求证：直线l与⊙O相切。
图4
证明：过O作OE⊥l，E为垂足，则
OE∥AC∥BD，又AO＝BO
所以
而
，则
即垂线段OE等于圆的半径，所以直线l是⊙O的切线。
第二篇：圆的相关定理
圆幂定理
定义
圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L
1、L2，L1与圆交于
A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分
直径所成的两条线段的例中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
切割线定理
定义
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
割线定理
定义
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线
与圆交点的距离的积相等。
从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有
LA·LB=LC·LD。如下图所示。(LT是切线）
证明
如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言： ∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言： ∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言： ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）
证明：连结OA、OB
∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
∴OA⊥AP、OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中：
∠OAP=∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA≌△OPB（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
弦切角定理
弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]
几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN = 弧PQ
∴∠1=∠
2证明：作AD⊥EC
∵∠ADC=90°
∴∠ACD+∠CAD=90°
∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA
∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数
弦切角概念
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．
相关公式
弧长计算公式：L=n兀R／180
扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
