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第一篇：圆周角
第一课时 圆周角(一)
教学目标:
(1)理解圆周角的概念,把握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用;
(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力;
(3)渗透由“非凡到一般”,由“一般到非凡”的数学思想方法.
教学重点:圆周角的概念和圆周角定理
教学难点:圆周角定理的证实中由“一般到非凡”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.
教学活动设计:(在教师指导下完成)
(一)圆周角的概念
1、复习提问:
(1)什么是圆心角?
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
(2)圆心角的度数定理是什么?
答:圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如右图)
2、引题圆周角:
假如顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠acb,它就是圆周角.(如右图)(演示图形,提出圆周角的定义)
定义:顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
3、概念辨析:
教材p93中1题:判定下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.
学生归纳:一个角是圆周角的条件:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.
(二)圆周角的定理
1、提出圆周角的度数问题
问题:圆周角的度数与什么有关系?
经过电脑演示图形,让学生观察图形、分析圆周角与圆心角,猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注重弧所对的圆周角的三种情况:圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部.
(在教师引导下完成)
(1)当圆心在圆周角的一边上时,圆周角与相应的圆心角的关系:(演示图形)观察得知圆心在圆周角上时,圆周角是圆心角的一半.
提出必须用严格的数学方法去证实.
证实:(圆心在圆周角上)
(2)其它情况,圆周角与相应圆心角的关系:
当圆心在圆周角外部时(或在圆周角内部时)引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.
证实:作出过c的直径(略)
圆周角定理: 一条弧所对的
周角等于它所对圆心角的一半.
说明:这个定理的证实我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法;在证实中,后两种都化成了第一种情况,这体现数学中的化归思想.(对a层学生渗透完全归纳法)
(三)定理的应用
1、例题: 如图 oa、ob、oc都是圆o的半径, ∠aob=2∠boc.
求证:∠acb=2∠bac
让学生自主分析、解得,教师规范推理过程.
说明:①推理要严密;②符号应用要严格,教师要讲清.
2、巩固练习:
(1)如图,已知圆心角∠aob=100°,求圆周角∠acb、∠adb的度数?
(2)一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的圆周角的度数?
说明:一条弧所对的圆周角有无数多个,却这条弧所对的圆周角的度数只有一个,但一条弦所对的圆周角的度数只有两个.
(四)总结
知识:(1)圆周角定义及其两个特征;(2)圆周角定理的内容.
思想方法:一种方法和一种思想:
在证实中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
(五)作业 教材p100中 习题a组6,7,8
第二、三课时 圆周角(二、三)
教学目标:
(1)把握圆周角定理的三个推论,并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证实;
(2)进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力;
(3)培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.
教学重点:圆周角定理的三个推论的应用.
教学难点:三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.
教学活动设计:
(一)创设学习情境
问题1:画一个圆,以b、c为弧的端点能画多少个圆周角?它们有什么关系?
问题2:在⊙o中,若 = ,能否得到∠c=∠g呢?根据什么?反过来,若土∠c=∠g ,是否得到 = 呢?
(二)分析、研究、交流、归纳
让学生分析、研究,并充分交流.
注重:①问题解决,只要构造圆心角进行过渡即可;②若 = ,则∠c=∠g;但反之不成立.
老师组织学生归纳:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
重视:同弧说明是“同一个圆”; 等弧说明是“在同圆或等圆中”.
问题: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所对的圆周角一定相等吗?(学生通过交流获得知识)
问题3:(1)一个非凡的圆弧――半圆,它所对的圆周角是什么样的角?
(2)假如一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决,在教师引导下得推论2:
推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦直径.
指出:这个推论是圆中一个很重要的性质,为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件,要熟练把握.
启发学生根据推论2推出推论3:
推论3:假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形.
指出:推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
(三)应用、反思
例1、如图,ad是△abc的高,ae是△abc的外接圆直径.
求证:ab・ac=ae・ad.
对a层同学,让学生自主地分析问题、解决问题,进行生生交流,师生交流;其他层次的学生在教师引导下完成.
交流:①分析解题思路;②作辅助线的方法;③解题推理过程(要规范).
解(略)
教师引导学生思考:(1)此题还有其它证法吗? (2)比较以上证法的优缺点.
指出:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.
变式练习1:如图,△abc内接于⊙o,∠1=∠2.
求证:ab・ac=ae・ad.
变式练习2:如图,已知△abc内接于⊙o,弦ae平分
∠bac交bc于d.
求证:ab・ac=ae・ad.
指出:这组题目比较典型,圆和相似三角形有密切联系,证实圆中某些线段成比例,经常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.
例2:如图,已知在⊙o中,直径ab为10厘米,弦ac为6厘米,∠acb的平分线交⊙o于d;
求bc,ad和bd的长.
解:(略)
说明:充分利用直径所对的圆周角为直角,解直角三角形.
练习:教材p96中1、2
(四)小结(指导学生共同小结)
知识:本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色,作用各异,在今后的学习中应用十分广泛,应熟练把握.
能力:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角或构成相似三角形,这种基本技能技巧一定要把握.
(五)作业
教材p100.习题a组9、10、12、13、14题;另外a层同学做p102b组3,4题.
探究活动
我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”,但当角的顶点在圆外(如图①称圆外角)或在圆内(如图②称圆内角),它的度数又和什么有关呢?请探究.
提示:(1)连结bc,可得∠e= ( 的度数― 的度数)
(2)延长ae、ce分别交圆于b、d,则∠b= 的度数,
∠c= 的度数,
∴∠aec=∠b ∠c= ( 的度数 的度数).
第二篇：圆周角
第一课时 （一）
教学目标：
（1）理解的概念,掌握的两个特征、定理的内容及简单应用；
（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.
教学重点：的概念和定理
教学难点：定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.
教学活动设计：（在教师指导下完成）
（一）的概念
1、复习提问：
（1）什么是圆心角？
答：顶点在圆心的角叫圆心角.
（2）圆心角的度数定理是什么？
答：圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如右图）
2、引题：
如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是.（如右图）（演示图形，提出的定义）
定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做
3、概念辨析：
教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是，并说明理由.
学生归纳：一个角是的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
（二）的定理
1、提出的度数问题
问题：的度数与什么有关系？
经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析与圆心角，猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注意弧所对的的三种情况：圆心在的一边上、圆心在内部、圆心在外部.
（在教师引导下完成）
（1）当圆心在的一边上时，与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在上时，是圆心角的一半.
提出必须用严格的数学方法去证明.
证明:(圆心在上)
（2）其它情况，与相应圆心角的关系：
当圆心在外部时（或在内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时仍然等于相应的圆心角的结论.
证明：作出过C的直径（略）
定理: 一条弧所对的
周角等于它所对圆心角的一半.
说明：这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想.（对A层学生渗透完全归纳法）
（三）定理的应用
1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径， ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC
让学生自主分析、解得，教师规范推理过程.
说明：①推理要严密；②符号应用要严格，教师要讲清.
2、巩固练习:
（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求∠ACB、∠ADB的度数？
（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的的度数？
说明：一条弧所对的有无数多个，却这条弧所对的的度数只有一个，但一条弦所对的的度数只有两个.
（四）总结
知识：（1）定义及其两个特征；（2）定理的内容.
思想方法：一种方法和一种思想：
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
（五）作业 教材P100中 习题A组6,7,8
第二、三课时 （二、三）
教学目标：
（1）掌握定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；
（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；
（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.
教学重点：定理的三个推论的应用.
教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.
教学活动设计：
（一）创设学习情境
问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个？它们有什么关系？
问题2：在⊙O中，若 =，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G ，是否得到 =呢？
（二）分析、研究、交流、归纳
让学生分析、研究，并充分交流.
注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若 =，则∠C=∠G；但反之不成立.
老师组织学生归纳：
推论1：同弧或等弧所对的相等；在同圆或等圆中，相等的所对的弧也相等.
重视：同弧说明是“同一个圆”； 等弧说明是“在同圆或等圆中”.
问题： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的一定相等吗？（学生通过交流获得知识）
问题3：（1）一个特殊的圆弧――半圆，它所对的是什么样的角？
（2）如果一条弧所对的是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论2：
推论2： 半圆（或直径）所对的是直角；90°的所对的弦直径.
指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握.
启发学生根据推论2推出推论3：
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形.
指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
（三）应用、反思
例1、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.
求证：AB・AC＝AE・AD.
对A层同学，让学生自主地分析问题、解决问题，进行生生交流，师生交流；其他层次的学生在教师引导下完成.
交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）.
解（略）
教师引导学生思考：（1）此题还有其它证法吗? （2）比较以上证法的优缺点.
指出：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的，以便利用直径上的是直角的性质.
变式练习1：如图，△ABC内接于⊙O，∠1=∠2.
求证：AB・AC＝AE・AD.
变式练习2：如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AE平分
∠BAC交BC于D.
求证：AB・AC＝AE・AD.
指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系，证明圆中某些线段成比例，常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.
例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；
求BC，AD和BD的长.
解：(略)
说明：充分利用直径所对的为直角，解直角三角形.
练习：教材P96中1、2
（四）小结（指导学生共同小结）
知识：本节课主要学习了定理的三个推论.这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握.
能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握.
（五）作业
教材P100.习题A组9、10、12、13、14题；另外A层同学做P102B组3，4题.
探究活动
我们已经学习了“的度数等于它所对的弧的度数的一半”，但当角的顶点在圆外（如图①称圆外角）或在圆内（如图②称圆内角），它的度数又和什么有关呢？请探究.
提示：（1）连结BC，可得∠E=（ 的度数― 的度数）
（2）延长AE、CE分别交圆于B、D，则∠B=的度数，
∠C=的度数，
∴∠AEC=∠B+∠C=（ 的度数+ 的度数）.
第三篇：圆周角
教学目标：一、新课引入：1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理.2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算.3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.4、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力.教学重点：圆周角的概念和圆周角定理.教学难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性.教学过程：一、新课引入：同学们，上节课我们已经学习了圆心角的定义、圆心角的度数和它所对的弧的度数的相等关系.学生在复习圆心角的定义基础上，老师通过直观演示将圆心角的顶点发生变化.满足顶点在圆上，而角的两边都与圆相交，得到与圆有关的又一种角.学生通过观察，对比着圆心角的定义，概括出圆周角的定义.教师板书：“7.5圆周角（一）.”通过圆心角到圆周角的运动变化，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡.一方面激发学生学习几何的兴趣，同时让学生感受到图形在学生眼中动起来.二、新课讲解：为了进一步使学生真正理解圆周角的概念，教师利用电脑进一步演示得到三种不同状态的圆周角.
教师提问，学生回答，教师板书.你能仿照圆心角的定义给圆周角下一个定义吗？圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.这时教师向全体学生提出这样两个问题：①顶点在圆上的角是圆周角？②圆和角的两边都相交的角是圆周角？教师不做任何解释，指导学生画图并回答出答案对与否.选择出有代表性的答案用幻灯放出来，师生共同批改.这样做的好处是学生自己根据题意画出图形，加深了对概念的理解，师生共同批改，使学生抓住概念的本质特征，这时由学生归纳出圆周角的两个特征.接下来给学生一组辨析题：练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由.
通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义.这时教师启发学生观察电脑演示的圆周角的三个图，说明圆心和圆周角的位置关系的三种情况. 在圆周角定理的证明时，不是教师直接告诉学生的定理内容，而是让学生把自己课前准备好的圆拿出来，在圆上画一个圆周角，然后再画同弧所对的圆心角，由同桌两人用量角器量出这两个角的度数，请三名同学把量得数据告诉同学们，亲自试验发现它们之间的关系.这时由学生总结出本节课的定理，然后教师把定理内容写在黑板上.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.这时教师提问一名中下生：“一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？”教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况.下面我们就来证明这个定理的成立.已知：⊙o中， 所对的圆周角是∠bac，圆心角是∠boc.分析：（1）如果圆心o在∠bac的一边ab上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明.如果圆心o不在∠bac的一边ab上，我们如何证明这个结论成立呢？教师进一步分析：“能否把（2）、（3）转化为（1）圆心在角的一边上的特殊情况，那么只要作出直径ad，将∠bac转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决.这样分析的目的，在几何定理的证明中，分情况逐一证明肯定命题的正确性，这还是第一次接触.因而教师分析就应从教会学生解决问题的方法上入手，教会学生由圆心o的特殊位置的证明为基础，进而推到一般情况.同时要向学生渗透证明过程体现了由已知到未知、由特殊到一般的思维规律.本题的后两种情况，师生共同分析，证明过程由学生回答，教师板书：证明：分三种情况讨论.（1）图中，圆心o在∠bac的一边上.（2）图中，圆心o在∠bac的内部，作直径ad.利用（1）的结果，有（3）图中，圆心o在∠bac的外部，作直径ad，利用（1）的结果，有接下来为了巩固所学的圆周角定理，幻灯片上出示例1.例1 如图7-30，oa，ob，oc都是⊙o的半径，∠aob=2∠boc.求证：∠acb=2∠bac.
例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上.这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解.为了坚持面向全体学生，遵循因材施教的原则，使不同层次的学生学有所得，教师有目的设计两组习题.第一组练习题是直接巩固定理，难度较小，可提问较差的学生.
求圆中的角x的度数？第二组练习题是间接巩固定理，需要以圆心角的度数为过渡，可提问中等偏上的学生.
如图7-32，已知△abc内接于⊙o， ， 的度数分别为80°和110°，则△abc的三个内角度数分别是多少度？三、课堂小结：这节课主要学习了两个知识点：1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想.四、布置作业：教材p.100中a6、7.补充作业：
如图7-33在⊙o中，de=2bc，∠eod=64°，求∠a的度数？
