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第一篇：等差数列证明
设等差数列 an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得证
1 三个数abc成等差数列，则c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差数列
等差：an-(an-1)=常数 (n≥2)
等比：an/(an-1=常数 (n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
第二篇：等差数列
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明：
1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立
2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时，推测仍成立。
在新的数列中
An=S[4n-(4n-4)]
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d为原数列公差)
20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
第三篇：等差数列求和公式
设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:
① ;
② ;
③ ;
④ , 其中 ..
当d≠0时，Sn是n的二次函数，(n，Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导
证明：由题意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An)
第四篇：等差数列练习题（文科）（教师版）
数列（2）——等差数列
一、 基础知识
（一）等差数列的定义
1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，an?an?1?d(常数n?2)
第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1（an?2）。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{an}{的通项公式为n的一次函数，即an?An?B则是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。
（二）等差数列的通项公式与求和公式
1、通项公式： ；
2、:求和公式： ； ； ； （三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d
2、等差数列的简单性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则am?an?ap?aq,特别：若m+n=2p，则。am?an?2ap （2）am,am?k,am?2k,am?3k....仍是等差数列，公差为kd; （3）数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m...也是等差数列； （4）Sn?1?(2n?1)an； （5）若n为偶数，则S偶-S奇?nd；若n为奇数，则S偶-S奇?S中(中间项）； 2（6）数列{can},{an?c},{pan?qbn}也是等差数列，其中c,p,q均为常数，是{bn}等差数列。
1
二、题型分类
（一）等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
例题1、若Sn是数列?an?的前n项和，Sn?n2,则?an?是 ( C ). Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列
Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列
例题2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是 （ A ） A．以7为首项，公差为2的等差数列 以5为首项，公差为2的等差数列 C．B． 以7为首项，公差为5的等差数列 D． 不是等差数列 例题3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{
1 21}是等差数列； （2）求an的表达式。 Sn1111111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，
Sn?1SnSnSn?1SnS1a1解（1）等式两边同除以Sn?Sn?1得以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知
1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，an=Sn-Sn?1=-。
2n2n(n?1)SnS11?(n?2)12n(n?1)又∵a1?，不适合上式，故an?{。
21(n?1)2针对性练习一 1、已知数列?an?中，
2
a1?1,1an?1?113?n?N?，则a50=
52an3??a22、已知数列?an?满足a1?2a,an?2a??n?2?，其中a是不为零的常数，令bn?1
an?aan?1（1） 求证：数列?bn?是等差数列 （2）求数列?an?的通项公式 解析：（1）bn?1?an?aan?1an?1111?，则 b?b???nn?12aa(an?1a)a(an?1?a)an?1?aa2a??aan?1 所以，数列?bn?是等差数列 （2） 由（1）知：b1?所以，bn?111n，则bn??(n?1)? aaaaan1，an??a ?naan?a3、 已知数列{an}的前n项和为Sn?n2?C(C为常数)，求数列?an?的通项公式，并判断{an}是不是等差数
列。
解答．当n=1时，a1=S1=1+c当n?2时，an=Sn-Sn-1=(n+c)-[(n+c)]-[(n-1)+C]=2n-1。
2
2
2
∴an=?n?1?c?1 ,当C=0时，是等差数列，否则不是
?2n?1n?2（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五22个量a1，an，d,n, Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为
SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。 n222n例题4（通项公式、求和公式的直接运用）
（1）已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为 （ D ）
A、6 B、7、 C、 8 D、9
（2）已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为 （ C ）
A、30 B、35 C、36 D、24 （3）等差数列{an}的公差d＜0，且
，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是 （ C ）
A、5 B、6 C、5或6 D、6或7
（4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= （ B ）
3
A、58 B、88 C、143 D、176 例5、在等差数列?an?中，前n项和记为Sn，已知a10?30,a20?50 （1）求通项an；（2）若Sn?242，求n 答案：（1）an?2n?10，（2）n?11 例6、在等差数列?an?中，
（1）a1?0,S4?S9，求Sn取最大值时，n的值； （2）a1?15,S4?S12，求Sn的最大值。 答案：（1）n?6或n?7，（2）Sn的最大值是S8?64
针对性练习二
1、等差数列?an?中，已知a1?1,a2?a5?4,an?33,则n为 50 3
2．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于 （ A ）
A、23 B、24 C、25 D26
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=6，a4=8，则公差d= （ C ）
A、-1 B、2 C、3 D、-2
4．两个数1与5的等差中项是（ B ）
A、1 B、3 C、2 D、
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ C ）
A、—2 B、—3 C、—4 D、—5
6．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为 （ B ）
A、1 B、2 C、3 D、4
7．数列?an?的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an，若b3=-2，b10=12，
则a8= （ C ） A、0 B、8 C、3 D、11
8．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为 （ A ）
4
A、25 B、24 C、20 D、19
9、已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16． (1)求数列{an}的通项公式：
(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an==
（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Sn．
解答：解 （1）解：设等差数列{an} 的公差为d，则依题设d＞0 由a2+a7=16．得2a1+7d=16 ①由a3?a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ② 由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220． 即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0， ∴d=2，代入①得a1=1 ∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1 所以an=2n﹣1 （2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn﹣1 两式相减得an+1﹣an=cn+1， 由（1）得a1=1，an+1﹣an=2 ∴cn+1=2，cn=2（n≥2）， 即当n≥2时，bn=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2 ∴bn=＜BR＞ 于是Sn=b1+b2+b3…+bn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即Sn=2n+2﹣6
（三）等差数列的性质
例题7．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?＝________；225
例题8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7?14，则a3?a5的值为 （ B ）
A．2
B．4
C．7
D．8
例题9、设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24
例题10、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
例题11、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )
B ) 5
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160 例题12、等差数列{an}的公差为
1，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( A ) 2(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 例题13．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足
An4n?2a?a13，则5的值为（ D ） ?Bn5n?5b5?b13（A）
79 （B）87 （C）19720 （D）8
例题14．在－1，7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是_ 1,3,5 ______．例题15、若两个等差数列?aSn?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且满足n7n?T?3， nn?3则a8? 6 .
b8例题16、在等差数列?an?中，Sn为前n项和： （1）若a1?a9?a12?a20?20，求S20；
（2）若S4?1，S8?4，求a17?a18?a19?a20的值；
（3）若已知首项a1?13，且S3?S11，问此数列前多少项的和最大？ 答案：（1）100， （2）9，（3）前7项
针对性练习三
1、等差数列
?an?的前n项和为sn，若a4?18?a5，则s8等于 72 2、在等差数列?an?中，am?n，an?m (m,n∈N+
),则am?n? 0
3、若?a2n?为等差数列，a2，a10是方程x?3x?5?0的两根，则a5?a7?______3______。
4、在等差数列中，a1与a11是方程2x2?x?7?0的两根，则a6为 1/4 5、等差数列?an?中，a2?a5?19,S5?40，则a1= 2 6、等差数列?an?的前m项和为30，前2m项和为100，则前3m项和为 210 7、等差数列
?an?中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4,记Sn?a1?a2???an，则S13等于 156
8、已知等差数列
?an?的前n项和为Sn，且S10?100,S100?10，则S110= -110 。
（四）等差数列的最值：
若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d>0,且满足??an?0，前n项和S?an最大； n?1?0 6
第五篇：直接证明与间接证明练习题
2、直接证明与间接证明
三种证明方法的定义与步骤：
1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3. 反证法 假设原命题的结论不成立, 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 由此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理, 直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题
例1 ：对于定义域为[0,1]的函数f (x ) ，如果同时满足以下三条：①对任意的；③若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤，=11都有x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；②f (1)
f (x x ) +1+x 2) ≥f (1f (x ) 为理想函数． f (2成立，则称函数x )
(1) 若函数f (x ) 为理想函数，求f (0)的值；
(2)判断函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取x 1=x 2=0可得f (0) ≥f (0) +f (0) ⇒f (0) ≤0．
又由条件①f (0) ≥0，故f (0) =0．
（2）显然g (x ) =2x -1在[0，1]满足条件①g (x ) ≥0；
也满足条件②g (1) =1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则
g (x 1+x 2) -[g (x 1) +g (x 2)]=2
x 1+x 2
-1-[(2-1) +(2-1)]
x 1x 2
=2x 1+x 2-2x 1-2x 2+1=(2x 2-1)(2x 1-1) ≥0 ，即满足条件③，
故g (x ) 理想函数．
注：紧扣定义，证明函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）满足三个条件
题型二：用分析法证明数学命题
14+≥9. a 1-a 14
≥9， 证明：∵ 0
a 1-a
去分母后需要证：（1－a ）+4a≥9a （1—a ）， 移项合并同类项，即需要证：9a 2—6a+1≥0，
例2：已知：0
即要证；(3a -1)≥0…………（1）
而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。
题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假 例3 ：已知f (x ) =a x +
x -2
(a >1) ，证明方程f (x ) =0没有负数根 x +1
2
解析：假设x 0是f (x ) =0的负数根，则x 0
a
x 0
x 0-2=-
x 0+1
∴0
x 0-2
x 0+12
故方程f (x ) =0没有负数根
注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛
盾→假设不成立。
选择题
1. 用反证法证明命题：若整系数方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.
A 、假设a , b , c 都是偶数
B 、假设a , b , c 都不是偶数
D 、假设a , b , c 中至多有两个偶数
C 、假设a , b , c 中至多有一个偶数
答案；B
2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 答案： B
3. 已知a 1>a 2>0a 3>，则使得
1, 都成立的x 取值范围是(-1a i x 2
（ B ） A. （0，
1
） a 1
y
B （0，
2） a 1
C.
（0，
1
） a 3
D. （0，
2） a 3
提示；
2
(1-a i x 2)
a i
222
a 1>a 2>a 3>0⇒a 1a 2a 3得出结论。
填空题 4
．
若
f (x ) =
44x +2
x
，则
121000f () +f () + +f () [1**********]答案：500
5. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形
ABC 的顶点分别为A (0, a ), B (b , 0), C (c , 0) ，点P (0,p ) 在线段AO 上的一点（异于端点），这里a , b , c , p 均为非零实数，设直线BP , CP 分别与边AC , AB 交于点E , F ，
11⎫⎛11⎫某同学已正确求得直线OE 的方程为⎛，请你完成直线OF 的 -⎪x + -⎪⎪y =0
⎝b
c ⎭
⎝p
a ⎭
方程： ( ) x +
⎛11⎫
-⎪y =0。 ⎪⎝p a ⎭
11
答案：-
c b
6．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
………………
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为
n 2-n +2
答案：。
2
解答题
7. 若a >b >c >d >0且a +d =b +c ，求证：d +a
设a +d =b +c =t ，则ad -bc =(t -d ) d -(t -c ) c =(c -d )(c +d -t )
∴ad
8. 在锐角三角形ABC 中, 求证:sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C [解析] ∆ABC 为锐角三角形，∴A +B >
π
2
∴A >
π
2
-B ，
y =sin x 在(0, ) 上是增函数，∴sin A >sin(-B ) =cos B
22
ππ
同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A
∴sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C
9. 设
, 为非零向量，且, 不平行，求证+，-析
]
假
设
不平行
[解
+=λ(-)
，则
(1-λ) +(1+λ) =，
⎧1-λ=0
, 不平行，∴⎨1+λ=0，因方程组无解，故假设不成立，即原命
⎩
题成立
10. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差d ≠0，求证：列
[解析] a、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c
111211
假设、、成等差数列，则=+⇒(a +c ) 2=4ac ⇒(a -c ) 2=0，∴a =c
a b c b a c
111
从而d =0与d ≠0矛盾，∴、、不可能成等差数列
a b c
111
、、不可能成等差数a b c
11. 已知f (x ) =ln x
证明： f (1+x ) ≤x (x >-1)
[解析] 即证：ln(x +1) -x ≤0
1-x
-1=. x +1x +1
当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x ) 为单调递增函数； 当x ∈（0，∞）时，k ′(x )
设k (x ) =ln(x +1) -x , 则k '(x ) =
即ln(x +1) -x ≤0∴f (1+x ) ≤x (x >-1) 12. 已知函数y =|x |+
1，y =y =
11-t (x +) (x >0) 的最小值恰2x
好是方程x 3+ax 2+bx +c =0的三个根，其中0
，
由f (1)=0，得c =-a -b -1
∴ f (x ) =x 3+ax 2+bx +c =x 3+ax 2+bx -(a +b +1)
=(x -1)[x 2+(a +1) x +(a +b +1)]，
故方程x 2+(a +1) x +(a +b +1) =
．
=-(a +
1) =a +b +1．
2=(a +1) 2，
即2+2(a +b +1) =(a +1) 2 ∴ a 2=2b +3．
改变后
直接证明与间接证明
1. 用反证法证明命题：若整系数方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有有理根，那么a , b , c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.
A 、假设a , b , c 都是偶数
B 、假设a , b , c 都不是偶数
D 、假设a , b , c 中至多有两个偶数
C 、假设a , b , c 中至多有一个偶数
2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4x 121000
) +f () + +f () 3．若f (x ) =x ，则f ([1**********]14+2
4 . 若a >b >c >d >0且a +d =b +c ，求证：d +a
5. 在锐角三角形ABC 中, 求证:sin A +sin B +sin C >cos A +cos B +cos C 6. 设
, 为非零向量，且, 不平行，求证+，-不平行
111
7. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差d ≠0，求证：、、不可能成等差数列
a b c
8. 对于定义域为[0,1]的函数f (x ) ，如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0,1]，总有
f (x ≥)
2
；0②
f (1=) ；③若x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1，都有
f (1x +
x ) ≥(f
1
+x ) 成立，则称函数f (x ) 为理想函数． (f x )
(1) 若函数f (x ) 为理想函数，求f (0)的值；
(2)判断函数g (x ) =2x -1（x ∈[0, 1]）是否为理想函数，并予以证明；
