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第一篇：直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系
一、知识点梳理
1、直线与圆的位置关系：
例1、下列判断正确的是（ ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直
线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③
例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______． 例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 例4、下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
例5．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C 为圆心，r 为半径作⊙C ，当r 为多少时，⊙C
与AB 相切？
2、切线的判定：
（1）根据切线的定义判定：即与圆有 一个 公共点的直线是圆的切线.
（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线.
（3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 判定切线时常用的辅助线作法：
（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.
（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.
例6、判断下列命题是否正确
（1）经过半径的外端的直线是圆的切线
（2
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线； （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.
例7．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，•那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为（m ，0），半径为2，•如果⊙M 与y 轴所在直线相
切，那么m=______，如果⊙M 与y 轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．
例9、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC•的延长线于点E ，
连结BC ．
（1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD=6，tan ∠BCD=
1
2
，求⊙O 的直径．
例10、如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=6，求AD 的长．
1
2
，∠D=30°．
例11、如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于C ，过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E ，若
∠EAC=∠CAP ，求证：PA 是⊙O 的切线．
3、切线的性质：
1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第
三个作为结论
4、切线长定理：
切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
例12、如图1，PA 、PB 是⊙O的两条切线、A 、B 为切点。PO 交⊙O于E 点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6， 则PB=____
（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
例13、如图2，PA 、PB 是⊙O的两条切线、 A、B 为切点，CD 切⊙O于E 交PA 、PB 于C 、D 两点。 （1）若PA=12，则△PCD 周长为____。 （2）若△PCD 周长=10，则PA=____。
（3）若∠APB=30°, 则∠AOB=_____，M 是⊙O上一动点，则∠A MB=____
3、三角形的内切圆
（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等. （3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角. （4）三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较： (5)、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系： 如图，⊙I 切△ABC 三边于点 D 、E 、F ，
1
则AD=AF=(AB +AC -BC )
21
BD=BE=(AB +BC -AC )
21
CE=CF=(AC +BC -AB )
2
特别地，当∠C =Rt∠时，如图，四边形CEID 是正方形， 内切圆的半径
r =CE =S ABC
1
(CA +CB -AB ) 21
=rl (其中r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长) 2
例14、如图Rt △ABC 的内切圆分别与AB 、AC 、BC 、相切于点E 、D 、
F ，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
例15、如图7—162，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是三角形的内心．
求：∠BOC ．
例16、如图，⊙O 是△A BC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
例17、如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，•DC=1，则⊙O 的
半径等于（ ） A．
4
5
B．
54
C．
34
D．
5 6
第二篇：教学设计说明
教学设计：
教学目标与教学内容：
1、学生能用欢快、活泼、兴奋地情绪，有感情地、自信地,完整地演唱歌曲。
2、能用废旧物品自制沙锤等无固定音高的简易打击乐器，为歌曲伴奏。
3、通过演唱《郊游》使学生喜爱春天，从而表达对大自然的热爱之情。
《郊游》是二年级四册第一单元的教学内容，为唱歌课，1课时完成。这是一首台湾儿歌，2/4拍，五声宫调式。由带再现的三部分构成。
一、三部分完全相同，显得朝气蓬勃；第二乐句因演唱景色变得柔和，旋律平易亲切，朗朗上口情绪上显得抒情一些，全曲表现了孩子们手牵着手去郊游，观赏蓝天、白云、青山、绿水的美丽春色，抒发了热爱大自然的愉快心情。内容符合这一阶段的学生身心特点。它在整个教材中处于承上启下的地位，与前后知识紧密联系，为学生学好后面的知识打下基础。
教学过程;
一.组织教学
师生问好（发声练习）: 1=C 2|4
12|3-|32|1-|13|21|2-|2-|12|3-|32|1-|13|22|1-|1-||
1、鼓励学生用多种形式描绘春天（如：背古诗、唱歌、说成语） 师：快乐的音乐40分又开始了，在上课之前，老师想让大家先轻松一下。我听说咱们班有很多同学都是小诗人呢，让我们以春天为主题，用我们美妙的语言来描绘一下春天的美景。谁先来试试？
2、谈话揭题
师：春天是个美丽的季节，白云悠悠，阳光柔柔，青山绿水一片锦绣。在这么美丽的春天里，同学们都想做些什么呢？（生：郊游） 师：今天孔老师就带领同学们一起去郊游！（板书课题） 形象的游戏，锻炼学生气息的集中性.PPT图片展示
（我运用精美卡通图画、鲜艳的背景、可爱的字体，吸引了孩子们的注意力，给学生以新颖、形象、生动直观的感受春天的美景，从学生已有知识出发，唤起学生想去郊游的兴趣。） （播放背景音乐，学生随着音乐动起来）
师：在郊游的过程中，我们首先经过一座音乐桥，桥的对岸景色非常美丽，同学们想不想去对岸看一看呢？ 生：愿意。
师：好，但是这座音乐桥上排列许多可爱的音符，只要走对这些音符，我们就能顺利的通过这座音乐桥就能欣赏到美丽景色。（出示节奏卡片）
师：去郊游的过程中不但要经过一座音乐桥，还要跨过一条音乐河，这里流淌着非常动听的旋律，我们在一起感受下。在感受过程中，同学们仔细的想一想，用怎样的声音才能跨过这座音乐河。（出示旋律卡片）
(通过故事情境、游戏训练，迅速拉近了师生之间的距离，并将新授的部分节奏的训练，旋律的训练做了一个有效的渗透，我运用这一特有功能将制作的多媒体课件用于音乐课中，激发起学生的兴趣和求知欲。引起学生们的关注，从而解决歌曲中的难点。) （1）教师范唱歌曲
师：通过大家的不懈努力，我们终于来到了目的地，在这美丽的地方，让我们坐下来休息一下，欣赏一首好听的歌曲吧！ （2）出示歌篇
师：老师刚才发现有好多同学已经按捺不住地跟着老师唱出来了，现在就让我们一起来学习这首好听的歌曲吧！ ①按节奏读歌词
②再次读歌词，教师弹旋律伴奏 ③小声地演唱 ④歌曲处理
A、第
一、第三乐句：歌曲演唱情感坚定有力，声音要有弹性。 师：刚才同学们一路随着音乐，迈着坚定有力的步伐来到了风景如画的目的地，那我们应该带着怎样的情感来演唱歌曲的第一乐句和第三乐句呢？
师：请大家起立、踏步走，有力地演唱第一句，好吗？ B、第二乐句：感受旋律的轻柔，用抒情优美的声音演唱。 师：这一回大家演唱进步多了，请大家闭上眼睛，想象一下春风吹到我们的脸上，阳光照在我们的身上是什么样的感觉呢？ C、第二乐句：
师：那同学们在演唱第二句的时候应该怎样唱呢？ 师：好，让我们用轻柔温暖的声音来演唱第二句吧。
(完整地演唱歌曲欣赏歌曲范唱，感受歌曲的速度及情趣。帮助学生理解歌曲的特点，突破教学难点。信息技术可是全方位调动学生的视觉、听觉、触觉，唤起学生的好奇心，提高注意力，创造更多的机会让学生参与，从而在良好的教学气氛中丰富知识，增强技能，受到事半功倍的效果。)
制作简易打击乐器为歌曲配伴奏
1、教师出示：废旧物品（易拉罐、塑料瓶、方便筷子等）。 师：同学们，你们看，老师在这美丽的郊外发现了什么？ 师：这一定是来这里玩的人留下的，大家说这样的行为好不好？ 师：如果我们不注意保护环境，那我们的生活将会是什么样子？ 师：那我们应该怎样做？
师：不仅我们要爱护环境，还要告诉身边的人要爱护环境。我们可以把废旧物品利用起来，使它们变废为宝，这样也是保护环境的一种方法。小组讨论一下，能不能使我们手中的废旧物品变成各种各样的打击乐器呢？
2、学生小组合作，制作打击乐器。
3、分组用自制的打击乐器为歌曲配伴奏。
师：同学们可真聪明，制作了这么多的打击乐器，现在就用我们手中的小乐器为歌曲伴奏吧。(通过学生动手制作简易打击乐器，提高学生的环保意识及动手操作能力、创新意识。并再次感受歌曲节拍的强弱。)
板书设计
郊 游
四二拍的含义：以四分音符为一拍，每小节二拍。 强弱规律：强 弱。
学生学习活动评价设计
1、检查学生学习情况。
2、检查学生是否有感情的能完整的演唱歌曲。
3、学生是否都能够积极参加歌曲的表演。
4、对歌曲节奏及歌词的理解既掌握情况。教师可以根据这些内容来制成表格性质来评价学生，对表现好的学生或者是小组可以有小小的奖励或者是表扬。
教学反思: 在《郊游》的设计与教学中，我利用精美的多媒体课件，幽默的语言，来激发孩子的学习兴趣。这节课总体来说课堂气氛比较浓厚，同时我在课堂上多让学生上台演唱，培养他们的参与、实践能力，学生情绪高涨，同时也体现了学生的主体地位，学生很快就学会了歌曲。同时让那些没有学习兴趣的学生才会逐渐喜欢音乐，从而才能对音乐有更深一步的了解。作为教师要积极引导学生，从而使学生不仅做到现在受益，而且做到终身受益。本节课还有很多不足之处，需要加强业务学习。
第三篇：圆相关定理
弦切角定理
一、弦切角
1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
二、弦切角定理
1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
2、弦切角定理证明（分三种情况讨论）：
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角定理
①圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
②圆心O在∠BAC的内部
过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E，连接EC、ED、EA∴∠CED=∠CAD ∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
③圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于DB
∴∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
三、弦心角推论
1、推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
2、应用：
Eg.如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
圆幂定理——相交弦定理
一、相交弦定理
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
几何语言：
∵弦AB、CD交于点P ∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 P.S.1、几何中比例中项的概念：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。
22、性质：b=a*c
几何语言：
∵AB是直径，CD垂直AB于点P
2∴PC=PA·PB（相交弦定理推论）
二、相交弦定理证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论
得∠A=∠D，∠C=∠B（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）
∴△PAC∽△PDB，
∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
圆幂定理——切割线定理
一、切割线定理
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线2∴PT=PA·PB（切割线定理）
2、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）/(割线定理）
2由上可知:PT
=PA·PB
2即PT=PC·PD
二、切割线定理证明
已知：如图ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，
2证明：PT=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
2即：PT=PA·PB
圆幂定理——割线定理
一、割线定理
1、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等 从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD。如图所示。(LT是
切线）
二、割线定理证明
已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线
证明：PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，
∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP,
即PA·PB=PC
·PD
第四篇：教学设计说明
教学设计说明
这节课的教学目标是让学生认识时间单位时和分，并能够准确读写钟面上的时刻，通过观察、操作、讨论等活动建立1分钟的量感，理解时、分的关系，从而培养学生探究、合作学习的能力以及培养学生遵守和爱惜时间的好习惯。
首先，通过猜谜语的形式，引出学习内容时钟，激发学生的学习兴趣，并且让学生知道数学知识和生活的紧密性，其次，让学生通过观察钟面、拨动钟面等活动，深刻地体会时和分的关系，再次，让学生在具体的活动中获得时间单位的概念，让学生使抽象的概念变成容易理解的知识，深刻体会到数学和生活是紧密相联系的，并培养学生对1分钟的感知。最后，以生活情景“小明的一天”讲述钟面上几时几分读写的方法。
时间（时、分的认识）
教学内容:时、分的认识 教学目标: 1.认识时间单位“时、分”。 2.能够准确读写钟面上的时刻。 3.初步建立1分钟的量感。 4.理解1时＝60分的关系。
5.通过观察、操作、尝试、讨论等活动，培养学生探究、合作学习的能力。 情感目标：培养遵守和爱惜时间的良好习惯。 教学重点与难点：
1、能够准确读写钟面上的时刻。
2、初步建立1分钟的量感。 教学准备： 教具：多媒体课件
学具：每位学生自备一个钟或一块表（机械）。 【教学过程】
一、情景导入：
师：上课前，老师给大家来猜个谜语？你们能行吗？
生：能。
师：一匹马儿三条腿，
日夜奔跑不怕累。
马蹄哒哒提醒你，
时间一定要珍惜。
生：钟。
师：对了，是钟，今天就让我们一起和钟学习吧！
（媒体演示）几个漂亮的钟面。
讨论：钟表的相同之处。
二、探究新知：
（一） 钟的认识：
1、师：观察钟面：你发现了什么？
2、根据学生的回答： 出示课件。
钟面上有（ 12）个大格， 每个大格里有（ 5 ）个小格， 钟面上共有（ 60 ）格小格，
（二）拨一拨
1、师：我拨动一下时针和分针，请同学们认真观察，看看分针有什么变化？ 小组交流自己的发现 生：分针走一小格
师:分针走一小格的时间是1分，在生活中人们习惯上把1分叫做1分钟。 那分针走2小格呢？5小格呢？ 师：我拨钟表你能说出是多少分吗？ 师拨动钟表指名回答并说明理由
小结：分针走了几小格表示的时间就是几分钟。
2.师：我拨动一下时针和分针，请同学们认真观察，看看时针有什么变化？ 小组交流自己的发现 生：时针走一大格
师:时针走一大格的时间是1时，在生活中人们习惯上把1时叫做1小时。 3.师：再观察钟表当时针从一个数字走到下一个数字，分针发生怎样的变化？
小结：1时=60分
（三）体验1分钟长短。
1.学生通过一些活动，如：读书、做口算题、写字、把脉等来体验1分钟的长短。
2.交流：1分钟里你做了些什么？
3.小结：短短的一分钟可以干这么多事情，让我们要珍惜每一分钟。 (四) 认识钟面时刻
媒体演示《小明的一天》画面
学生尝试读出钟面时刻，并学习表示时间的方法。
1、请你们根据钟面来说一说、写一写
2、
学生讨论交流，教师巡视指导。
3、小结：
在使用电子表的表示方法时，分钟数不到10在分钟数的前面要加“0”，并且通常习惯读作“几时零几分”。
三．智力闯关 第一关：看谁填的准
1.钟面上有（ ）针，（ ）针，（ ）针； 2.时针走1大格的时间是（ ）时；
3.分针走（ ）小格的时间是1分。 第二关：填上合适的时间单位 1.我和妈妈坐车到姥姥家要1（ ）； 2.课间休息10分钟（ ）； 3.爸爸每天工作8（ ）； 4.一节课的时间是40（ ） 第三关：火眼金睛
四．小结
今天我们学习了什么本领？ 1时=60分
在使用电子表的表示方法时，分钟数不到10在分钟数的前面要加“0”， 五．课后作业
课本P21；连一连、画出分针
板书设计： 1时=60分
7:45 7时45分
第五篇：切线的判定和性质数学教案设计
切线的判定和性质数学教案设计
教学目标：
1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．
教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；
教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程设计
（一）复习、发现问题
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）
图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?
如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．
发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法――切线的判定定理．
（二）切线的判定定理：
1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
（三）切线的判定方法
教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．
（四）应用定理，强化训练
例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB，数学教案－切线的判定和性质。
证明：连结0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．
∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C，所以AB是⊙O的切线．
练习1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．
采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由，
练习P106，1、2
目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
（五）小结
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可．
2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
3、能力：初步会应用切线的判定定理．
（六）作业P115中2、4、5；P117中B组1．
切线的判定和性质（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力；
教学重点：切线的性质定理和推论1、推论2．
教学难点：利用“反证法”来证明切线的性质定理．
教学设计：
（一）基本性质
1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）
2、归纳：（引导学生完成）
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
猜想：圆的切线垂直于经过切点的半径．
引导学生应用“反证法”证明．分三步：
(1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
(2)同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．
(3)承认所要的结论AT⊥AO．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
指出：定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．
引导学生发现：
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；
(2)过切点；
(3)过圆心．
(二)归纳切线的性质
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
（三）应用举例，强化训练．
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
引导学生分析：条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．
证明：连结OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径，初中数学教案《数学教案－切线的判定和性质》。
已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD
求证：连结E、F的'线段是直径。
证明：连结EO并延长
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F
∴EF为⊙O直径
强化训练：P109，1
3、求证：经过直径两端点的切线互相平行。
已知：AB为⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B
求证：MN∥CD
证明：∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B为半径外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小结
1、知识：切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
2、能力和方法：
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．
（五）作业教材P109练习2；教材P116中7．
切线的判定和性质（三）
教学目标：
1、使学生学能灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律；
3、通过对切线的综合型例题分析和论证，激发学生的思维．
教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．
教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．
教学设计：
（一）复习与归纳
1、切线的判定
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法(2)的逆命题）
(3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）
(二)灵活应用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
例2（P110例4）、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．
∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD与小圆O相切．
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．
例3、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．
巩固练习：P111练习1、2．
（三）小结：
1、知识：（指导学生归纳）切线的判定方法和切线的性质
2、能力：①灵活运用切线的判定方法和切线的性质证明问题；②作辅助线的能力和技巧．
（四）作业：教材P115，1（1）、2、3．
探究活动
问题：（北京西城区，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．
(1)当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
(2)当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线(不写做法，保留作固痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；
猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对称的猜想加以证明．
解：(1) 测量结果：
(2)图2中的测量结果：
图3中的测量结果：
猜想：
证明：
解：(1) 测量结果：∠CDP=45°．
(2)图2中的测量结果：∠CDP=45°．
图3中的测量结果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证明：连结OC．
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正确．
数学教案－切线的判定和性质
第六篇：教学设计说明
教 案 说 明
一、授课内容的数学本质与教学目标定位 教学内容：
本节课是北师大版教材七年级（下）第七章《生活中的轴对称》第二节“简单的轴对称图形”的第一课时．主要内容是经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称图形的特征，并由此探索了解角平分线的有关性质，应用角平分线的性质解决一些简单问题．
教学目标: ●知识与技能：
（1）进一步认识轴对称图形的特点，认识角是轴对称图形；
（2）探索并了解角平分线的有关性质；
（3）能应用角平分线的性质解决一些简单的问题． ●过程与方法：
（1）在探索角平分线性质的过程中，培养学生观察、思考、分析和概括的能力； （2）在动手操作的活动中，通过说理，培养学生运用数学语言进行表述的能力；
（3）通过学习进一步理解由“特殊”到“ 一般”的数学思想.●情感与态度：
（1）通过轴对称图形的教学进行审美教育，让学生充分感受数学美，从而激发学生热爱数学的情感；
（2）通过探究活动培养学生团结协作的精神.二、教材的地位及作用
本节教材是在学生对轴对称现象有了一定认识，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴的基础上，经历探索的过程，掌握角平分线的有关性质，为以后学习其他轴对称图形（矩形、正方形、菱形等）知识奠定必要的基础．
三、教学诊断分析
1.在学习有关角的对称轴是角平分线所在直线的时候,学生常常将角平分线理解成角的对称轴,因此,在本节课的教学过程中作了特别强调；
2.运用角平分线的性质解决问题时，学生常常会运用全等将角平分线的性质再证明一次，而没有直接使用角平分线的性质，简化证明过程,因此,在本节课通过例题及巩固练习,加深学生对角平分线性质的运用.四、教学设计说明
1．根据新课程课堂教学理念“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验” ．本节课的设计遵循了这一理念，注意通过折纸等丰富多彩的活动激发学生学习本课的积极性，注意让学生动手操作实践，在操作中进行自主探索和生生、师生互动交流，从而使学生能很好地掌握角平分线的性质，并获得用折纸这样的操作发现法探究图形性质的活动经验．
2．在本节课的教材内容处理上，既注意了教材是最基本的课程资源，它是满足所有七年级学生最基本的知识内容，又注意了我校学生的实际情况（学生比较优秀），因此，本节课突出了课程资源的开发，即对原有例题作了补充（如例2），又增加了反馈练习活动，让学生在议练中学会运用角平分线性质解决问题，同时还进行了思维拓展，这样充分体现了让不同的学生“在数学上得到不同的发展”的数学课程基本理念．
3．本节课在教法上选用了“探究——发现”教学模式，这是基于本节课的知识内容，有实践背景，适用于让学生动手操作探究．因此本节课在教学活动设计中，注意突出学生活动，设置了四个活动：①动手活动：通过动手度量、折纸等活动，探索角平分线的性质；②表述活动：用文字语言、图形语言、符号语言表述角平分线的性质，并互动说理证明；③应用活动：角平分线的性质的认识及应用；④拓展活动：结合本节课的知识，对线段的轴对称性进行探索．
4．教材中只给出了角平分线的性质的文字语言叙述，并没有给出符号语言的表述，由于我校的学生在第二章、第五章学习时，已经接触了符号语言的叙述，并且能够进行简单的说理，因此在这里，我引导学生将文字语言结合图形语言转化为符号语言，并且对性质进行了说理，同时在对性质说理以及例1的解答中，教师都给出了规范的说理过程，这样既符合学生的实际学习情况，又为后面学习证明（一）、（二）、（三）打下基础. 5．评价方式
根据课标的评价理念，教学中我关注了学生在学习过程中是否积极参与教学活动，是否能在教师的引导下进行说理，是否能应用所学知识来解决实际问题，并注意在教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.
指导老师点评
任何数学老师都想上一堂优秀的数学课，优秀的数学老师想自己上的每一堂课都是优秀的，我们都想成为智慧型的数学老师。我们高兴的看到，郭老师给了我们很好的示范。
一、学生的发现
数学家乔治·伯利亚：“学任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最省，也最容易了解其中的规律，性质和联系”。这里的发现就是在教师设定的在原有的知识的基础上产生新的问题，由学生去发现、去再创造。郭老师从学生最熟悉的工具（两个全等的30°的三角板）设置的拼图活动出发，从学生拼出的图形中我们可以看到很好地呈现了探索问题的情景，又为后边的学习新的轴对称和中心对称，做好了铺垫，起到了很好地承上启下作用，学生遵循着老师设置的问题，通过测量、折纸等活动去发现去探索，随着七个问题的提出与解决，知识在学生脑海中已基本形成，郭老师的情景和问题串的设置真是匠心独运。
二、知识的产生
发现结论是定理的初级阶段，如何让定理在学生头脑中形成可迁移的印记呢？郭老师通过“最大限度地给予学生表演的机会”、“指导学生阅读教材引”，引导学生用普通数学语言、几何语言、符号语言进行表述和转换，让我们看到了知识的产生其实就是数学语言的产生，三种数学语言的互化形成数学知识内化，在这个环节表现的生生互动，让我们感受到了知识就是在这样的交流，试错中完成的，什么叫水到渠成，由此可见一斑。
三、知识的运用
知识的掌握、能力的形成其实就是这个定理（基本模式）在较为复杂的图形中的识别与分离(例题1)、组合与补全（例题2），几何定理的运用就是基本图形的识别与补全，例题的选择是为了学生形成能力、能够迁移所必须具备的基本要素，郭老师在这两个例题的设置上让我们看到了一个优秀的数学老师的深厚功底，这里的精彩是看不见的，但思维的链条在学生头脑中已成雏形，我们从反馈练习的顺利完成就可以清楚看到这一点。
四、方法的拓展
最有价值的知识是方法，形成知识不是我们的最终目的，知识是形成方法的载体，知识的灵魂是方法，学生从前五个环节中学到了知识，形成了初步的方法（从操作中发现,在特殊中探索），但这种方法需要老师有意识地深化、延伸，探索线段轴对称性以及对称轴上一点到两端距离的关系，这个问题的设置看似简单，其实把握捉了本节的精华“从特殊到一般”的数学思想方法，使学生从单纯的解题方法的模仿发展到思维过程的模仿，提高了学生的思维质量。
数学课从本质上讲是简洁的：设置什么情景，怎样操作检验，讨论什么问题，明确什么结论，形成什么知识和方法。本节从操作中探索，探索中操作，在探索中深化，在操作中明辨，从操作开始到操作中拓展，把握住了核心，使数学的课堂教学真正落实到了学生的发展上——这就是我们每一位数学老师追求的优秀的数学课，也是每一节数学课都是优秀的标准。
成都市七中育才学校
陈英
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