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第一篇：函数零点存在性的几种证法
函数零点存在性的几种证法
张晓萍
摘要：利用介值定理、中值定理、单调性、最值、保号性证明有关函数零点的命题。关键词：介值定理
中值定理
单调性
最值
保号性
零点
文章编号：１００８—６５５２（２００６）０１—００４６—０２
作者简介：张晓萍，１９６３生，女，副教授。（浙江传媒学院信患系，浙江杭州，３１００１８）中图分类号：０１７
文献标识码：Ａ
在学习高等数学过程中，经常会遇到与函数零点相关的一些理条件，从而存在介于ａ与ｂ之间的∈，使得
璧岸生往往感到束手无策’本文主要探讨解决此类问题的＿些方法。
１利用介值定理
｝５—７Ｉ４“（１．洲÷一÷），
。
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“
“
整理即得结论。
３利用导数
例１证明方程Ｘ５＋Ｘ一１＝０有一个正根。
证明：设ｆ（ｘ）＝ｆ＋ｘ—Ｉ，则ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，且ｆ（０）＝一Ｉ＜Ｏ，“１）＝Ｉ＞０，由介值定理知存在一点∈Ｅ（０，Ｉ），使得ｆ（∈）＝Ｏ，即∈是方程ｆ＋ｘ～Ｉ＝０的一个正根。
例４设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且对任意的实数ｘ、Ｙ满足方程火ｚ＋，，）＝又茹）＋灭，，），证明：ｆ（ｘ）一ｆ（０）ｘ－；０。实数Ｘ，
２利用中值定理…
我们常常将所要证明的问题转化为证明导数零点的存在性，由中值定理证明之。
州＝五盛监等｝世＝矗晶趔』掣
：ｎ．ｍ．薹掣：“．ｍ．世蝉：八ｏ），故／ｋ
△州
△石
证明：由条件ｆ（ｘ＋Ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（Ｙ）知ｆ（ｏ）＝０，于是对任意的
△删
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ｘ
例２设函数ｆ（Ｘ）在（ｏ，Ｉ］上连续，且』ｊｆ（ｘ）ｄｘ＝ｏ，证明在开区
间（０，１）内方程ｆ（１一Ｘ）＋ｆ（Ｘ）＝Ｏ至少有一个根。
证明：设
八笫）＝以Ｏ）ｘ＋ｃ，令并＝０得ｃ＝０，所以以ｘ）一八０）ｚ；０。
４利用最值
例５假设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可微，若ｆ－（ａ）＜ｏ，ｆ，－（ｂ）＞０，则Ｈｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根。
Ｆ（并）＝ＪｏＩｆ（Ｉ—ｆ）＋尺ｆ）］ｄｔ，贝ＨＦ（ｏ）＝０，
Ｆ（１）＝ｆｌ［“１一ｔ）＋ｆ（ｔ）］出＝厶ｌ—ｔ）出＝Ｉｌ八ｔ）ｄｔ＝０，
由洛尔定理知至少存在一点妊（０，１），使Ｆ≮∈）＝０，即ｆ（１一毒）＋ｆ（专）＝Ｏ
例３设ａｂ＞０，证明方程（Ｉ—ｘ）ｅ。（ａ—ｂ）一ａｅ“＋ｂｅ４＝０在ａ与ｂ之间至少有一根。
证明：Ｎｆ；（ｎ）＝“凸厶旦土掣＜０，故对于充分小
例６设ｆ在［ａ，ｂ】上连续，且对任何ｘＥ［ａ，ｂ］，存在ｙｔ［ａ，ｂ］，
的正数ｘ，ｆ（ｘ＋ａ）＜ｆ（ａ），于是函数ｆ（ｘ）不可能在ａ点取得最小值；同理函数也不会在ｂ点取得最小值，所以它的最小值只能在（ａ，ｂ）取得，由极值的必要条件知“Ｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根。
证明：设ｆ（ｘ）＝ｘｅ＋，由ａｂ＞ｏ知以÷与÷为端点的区问不包
ａ
Ｄ
使得
含原点，故ｆ（ｘ）在以—Ｌ与÷为端点的区问上满足拉格朗日中值定
ａ
Ｄ
Ｉ“，，）Ｉ＜÷ｌ火石）Ｉ．
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函数零点存在性的几种证法
证明：存在靠［ａ，ｂ］，使得ｆ（∈）＝０。
证明：由ｆ在［ａ，ｂ］上连续知…也在［ａ，ｂ］上连续．若记…在［ａ，ｂ］上最小值ｍ＝ｌｆ（∈）Ｉ，则当ｍ＝０时结论成立；当ｍ＞０时，对妊［ａ，ｂ］，存在ｙＥ［ａｙｂ］，使得ｆ“），）Ｉ＜ｉ１｝以ｆ）Ｉ，矛盾，所以存在妊［ａ，ｂ］，使得ｆ（∈）＝０。
即ｅ。ｆ（ｘ）≤ｏ，ｆ（ｘ）≤ｏ，而已知ｆ（Ｘ）≥０，所以对Ｖｘ∈［０，＋ｍ）有ｆ（ｘ）－－＝０。
７利用积分中值定理‘２１
例９设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导且满足ｆ（１）＝ｋ
』Ｔｘｅｌｌｌｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ＞１），证明至少存在一点∈∈（０，１），使得ｆＩ∈）一
５利用函数的幂级数展开式
例７证明多项式
（１一∈。）ｆ（《）＝０。
证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘｅｌ‘１ｆ（ｘ），由积分中值定理至少存在一点１１Ｅ
１
豫㈦…暑＋葑＋．．－＋南
没有实根。
证明：假设Ｐ（Ｘ）存在实根ｘ０，由Ｐ（ｘ）的常数项为１大于０
［０，÷］Ｃ［０，１］，使得
Ｋ
产
Ｆ（１）＝八１）＝ｋ【戈ｅ。矾ｚ）ｄｘ＝Ｆ（田），
又由Ｆ（ｘ）在［ｑ，１］上满足洛尔定理条件知至少存在一点￡Ｅ（Ｔ１，１）ｃ（０，１），使得Ｆ≮∈）＝０，即
ｅｌｏ［八ｆ）一彰Ｉ亭）＋毒“ｆ）］＝０，
也就是
八ｆ）一（１一ｆ。）“ｆ）＝０。
前面我们讨论了证明函数零点存在的一些方法，希望能对相关命题的证明有一定的参考作用。
参考文献：
［１］同济大学数学系编．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００２．１２７—１６０．
［２］华东师范大学数学系编．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．２１７—２１９．
可知ｘ。＜ｏ，设ｘ０＝一：（：＞ｏ），则有
㈧一；＋筹一著＋．．・＋赢
与Ｐ（ｘ０）＝０矛盾，故Ｐ（Ｘ）没有实根。
纠＋西而【筇Ｊ＞。＞ｕ，＝ｅ一。＋ｉ赢（筇）２”＋１＞ｅ一‘＞ｏ，
６利用积分的保号性
例８设ｆ（ｘ）在［０，＋＊）上可微，且０≤ｆ－（ｘ）≤ｆ（Ｘ），ｆ（ｏ）＝０求证：对Ｖｘ∈［０，＋ｍ）有ｆ（ｘ）；Ｏ。
证明：由“ｘ）一ｆ（ｘ）≤０知ｅ。［ｆ－（ｘ）一ｆ（ｘ）］≤０，即［ｅ。ｆ（ｘ）］≤Ｏ，故对
Ｖ菇∈［ｏ，＋ｍ），ｒ［一狄￡）］犰≤ｏ，
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函数零点存在性的几种证法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
张晓萍
浙江传媒学院,信息系,浙江,杭州,310018
浙江传媒学院学报
JOURNAL OF ZHEJIANG INSTITUTE OF MEDIA & COMMUNICATIONS2006,13(1)
参考文献(2条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 同济大学数学系 高等数学 2002
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zjcmxyxb200601017.aspx
