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韦达定理
-数学等理科应用学科 二次函数
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
基本介绍
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。 这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。 定理内容折叠
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/a韦达定理 X1*X2=c/a
1/X1+1/X2=X1+X2/X1*X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中， 若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 定理拓展
(1)若两根互为相反数，则b=0 (2)若两根互为倒数，则a=c (3)若一根为0，则c=0 (4)若一根为1，则a+b+c=0 (5)若一根为-1，则a-b+c=0
(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根 推广折叠
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2?，Xn
我们有右图等式组其中∑是求和，Π是求积。
如果二元一次方程在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 (x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 例题折叠
例1已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2.由韦达定理，得 x1+x2=-p，x1x2=q.
于是x1?x2-(x1+x2)=p+q=198， 即x1?x2-x1-x2+1=199.
∴运用提取公因式法(x1-1)?(x2-1)=199. 注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数， 解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.
例2已知关于x的方程x^2-(12-m)x+m-1=0的两个根都是正整数，求m的值. 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2.由韦达定理得 x1+x2=12-m，x1x2=m-1. 于是x1x2+x1+x2=11， 即(x1+1)( x2+1)=12. ∵x1、x2为正整数，
解得x1=1，x2=5;x1=2，x2=3. 故有m=6或7.
例3求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数. 解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求.
若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得 ∴x1x2-X1-x2=2， (x1-1)( x2-1)=3.
因为x1-1、x2-1均为整数， 所以X1=2，X2=4;X1=—2，X2=0. 所以k=1,或k=-1/7
例4已知二次函数y=-x2+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1. (97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程-x2+px+q=0的两根为α、β. 由韦达定理得 α+β=p，αβ=-q. 于是p+q=α+β-αβ， =-(αβ-α-β+1)+1
=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β). 证明结论折叠
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a
(注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0) 可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a 所以X1﹢X2=-b/a
2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a] 所以X1X2=c/a
(补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1?X2
(扩充)3.X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有
X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】 所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a 韦达定理推广的证明
设X1，X2，??，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。 则有：An(x-x1)(x-x2)??(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)??(x-xn)=∑AiXi (在打开(x-x1)(x-x2)??(x-xn)时最好用乘法原理) 通过系数对比可得： A(n-1)=-An(∑xi) A(n-2)=An(∑xixi) ?
A0=[(-1) ]×An×ΠXi
所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n) ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n) ?
ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。 一元五次方程验证:
已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1
根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式;且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。 把上式展开成：
-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0 上述方程可化简成：
a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*
(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*
(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0
设化简后的方程为形式3.
最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系:
