积分第一中值定理及其推广证明

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2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理:

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在闭区间[a,b]上是可积的，则在[a,b]上至少存在一点，使得



成立。 证明如下：

b

a

f(x)g(x)dxf()g(x)dx,(ab)

a

b

由于g(x)在闭区间[a,b]上不变号，我们不妨假设g(x)0，并且记f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值为M和m，即mf(x)M，我们将不等式两边同乘以g(x)可以推出，此时对于任意的x[a,b]都会有

mg(x)f(x)g(x)Mg(x)

成立。对上式在闭区间[a,b]上进行积分，可以得到

mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx。

a

a

a

bbb

此时在m,M之间必存在数值，使得mM，即有



成立。

b

a

f(x)g(x)dxg(x)dx

a

b

由于f(x)在区间[a,b]上是连续的，则在[a,b]上必定存在一点，使f()成立。此时即可得到



命题得证。

b

a

f(x)g(x)dxf()g(x)dx，

a

b

2.2积分第一中值定理的推广

定理：（推广的第一积分中值定理）若函数f(x)是闭区间[a,b]上为可积函数，

g(x)在[a,b]上可积且不变号，那么在开区间(a,b)上至少存在一点，使得



b

a

f(x)g(x)dxf()g(x)dx,(a,b)

a

b

成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数f(x)在闭区间[a,b]上是可积的，g(x)在[a,b]上可积且不变号，令F(x)f(t)g(t)dt，很显然F(x),G(x)在[a,b]上连续。G(x)g(t)dt，

a

a

x

x

并且F(a)0,F(b)f(t)g(t)dt，G(a)0,G(b)g(t)dt，F()f()g()，

a

a

bb

G()g() 。由柯西中值定理即可得到

F(b)F(a)F()

,(a,b)，

G(b)G(a)G()

化简，即



根据上式我们很容易得出

b

a

f(t)g(t)dt



b

a

g(t)dt



f()g()

，

g()



命题得证。

b

a

f(t)g(t)dtf()g(t)dt,(a,b)，

a

b

证法2：由于函数g(x)在[a,b]上可积且不变号，我们不妨假设g(x)0。而

,]函数f(x)在闭区间[ab上可积，我们令minff(x)|x[a,b]，

Msupf(x)|x[a,b]。假设F(x)是f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数，即F(x)f(x),x[a,b]。我们就可以得到下面等式

mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx（2.2.1）

a

a

a

b

b

b

此时由于g(x)0，则会有g(x)dx0，由于存在两种可能性，那么下面我们

a

b

就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：

(1).如果g(x)dx0，由等式（2.2.1）可得出f(x)g(x)dx0，那么对

a

a

b

b

于(a,b) 都有



恒成立。

b

a

f(x)g(x)dx0f()g(x)dx

a

b

(2).如果g(x)dx0，将（2.2.1）除以g(x)dx可得

a

a

bb

m

我们记

b

a

f(x)g(x)dx



b

a

g(x)dx

M，（2.2.2）



b

a

f(x)g(x)dx



b

，（2.2.3）

a

g(x)dx

此时我们又分两种情形继续进行讨论：

（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有m

则此时一定就存在mM，可以使得

b

a

f(x)g(x)dx



b

a

g(x)dx

M成立，

mf(x1),f(x2)M，

我们不妨假设x1x2，这其中x1,x2[a,b]。因为F(x)f(x)，x[a,b]，则会有

F(x1)f(x1)f(x2)F(x2)。

此时至少存在一点(x1,x2)，使得F()f()，即有



b

a

f(x)g(x)dxf()g(x)dx,(x1,x2)[a,b]

a

b

成立，从而结论成立。

（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M，因为g(x)dx0，此时一定存在区间[a1,b1](a,b)（其中a1b1），使得x[a1,b1]，

ab

恒有g(x)0成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化

g(x)dxf(x)g(x)dx，

a

a

bb

因为M，则有

[Mf(x)]g(x)dx0（2.2.4）

a

b

而且我们已知[Mf(x)]g(x)0，则

0[Mf(x)]g(x)dx[Mf(x)]dx0。

y1

a

x1

b

于是



x1

y1

[Mf(x)]g(x)dx0（2.2.5）

在式子（2.2.5）下必定存在[a1,b1](a,b)，使得f()M。

如果不存在一个[a1,b1](a,b)，使得f()M，则在闭区间[x1,y1]上必定有Mf(x)0及g(x)0成立，从而使得[Mf(x)]g(x)0。

如果[Mf(x)]g(x)dx0，由达布定理在[a1,b1]上有[Mf(x)]g(x)0，

a1b1

这与[Mf(x)]g(x)0矛盾。

如果 [Mf(x)]g(x)dx0，这与（2.2.5）式矛盾。所以存在[a,b]，

a1b1

使f(x)g(x)dxf()g(x)dx,(a,b)，定理证毕。

a

a

bb