等差数列练习题文科教师版

时间：2022-03-25 14:20:31 作者：网友上传字数：2453字

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数列（2）——等差数列

一、基础知识

（一）等差数列的定义

1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an?an?1?d(常数n?2)

第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1（an?2）。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{an}{的通项公式为n的一次函数，即an?An?B则是等差数列；

（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。

（二）等差数列的通项公式与求和公式

1、通项公式：；

2、:求和公式：；；；（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d

2、等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和。

（1）若m+n=p+q,则am?an?ap?aq,特别：若m+n=2p，则。am?an?2ap （2）am,am?k,am?2k,am?3k....仍是等差数列，公差为kd; （3）数列Sm,S2m?Sm,S3m?S2m...也是等差数列；（4）Sn?1?(2n?1)an；（5）若n为偶数，则S偶-S奇?nd；若n为奇数，则S偶-S奇?S中(中间项）； 2（6）数列{can},{an?c},{pan?qbn}也是等差数列，其中c,p,q均为常数，是{bn}等差数列。

二、题型分类

（一）等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，an?an?1?d(常数)(n?2)，第二种是利用等差中项，即2an?an?1?an?1(n?2)。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an=An+B,则{an}是等差数列；

（2）前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn?An2?Bn的形式（A，B是常数），则{an}是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

例题1、若Sn是数列?an?的前n项和，Sn?n2,则?an?是 ( C ). Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列

Ｂ.等差数列，但不是等比数列Ｄ.既非等比数列又非等差数列

例题2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（ A ） A．以7为首项，公差为2的等差数列以5为首项，公差为2的等差数列 C．B．以7为首项，公差为5的等差数列 D．不是等差数列例题3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?Sn?1?2Sn?Sn?1?0(n?2),a1?（1）求证：{

1 21}是等差数列；（2）求an的表达式。 Sn1111111-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，

Sn?1SnSnSn?1SnS1a1解（1）等式两边同除以Sn?Sn?1得以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1111=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=,当n≥2时，an=Sn-Sn?1=-。

2n2n(n?1)SnS11?(n?2)12n(n?1)又∵a1?，不适合上式，故an?{。

21(n?1)2针对性练习一 1、已知数列?an?中，

a1?1,1an?1?113?n?N?，则a50=

52an3??a22、已知数列?an?满足a1?2a,an?2a??n?2?，其中a是不为零的常数，令bn?1

an?aan?1（1）求证：数列?bn?是等差数列（2）求数列?an?的通项公式解析：（1）bn?1?an?aan?1an?1111?，则 b?b???nn?12aa(an?1a)a(an?1?a)an?1?aa2a??aan?1 所以，数列?bn?是等差数列（2）由（1）知：b1?所以，bn?111n，则bn??(n?1)? aaaaan1，an??a ?naan?a3、已知数列{an}的前n项和为Sn?n2?C(C为常数)，求数列?an?的通项公式，并判断{an}是不是等差数

列。

解答．当n=1时，a1=S1=1+c当n?2时，an=Sn-Sn-1=(n+c)-[(n+c)]-[(n-1)+C]=2n-1。

∴an=?n?1?c?1 ,当C=0时，是等差数列，否则不是

?2n?1n?2（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d及前n项和公式Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d，共涉及五22个量a1，an，d,n, Sn,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为

SndSdd?n?a1??a1?(n?1)，故数列{n}是等差数列。 n222n例题4（通项公式、求和公式的直接运用）

（1）已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（ D ）

A、6 B、7、 C、 8 D、9

（2）已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（ C ）

A、30 B、35 C、36 D、24 （3）等差数列{an}的公差d＜0，且

，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（ C ）

A、5 B、6 C、5或6 D、6或7

（4）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= （ B ）

A、58 B、88 C、143 D、176 例5、在等差数列?an?中，前n项和记为Sn，已知a10?30,a20?50 （1）求通项an；（2）若Sn?242，求n 答案：（1）an?2n?10，（2）n?11 例6、在等差数列?an?中，

（1）a1?0,S4?S9，求Sn取最大值时，n的值；（2）a1?15,S4?S12，求Sn的最大值。答案：（1）n?6或n?7，（2）Sn的最大值是S8?64

针对性练习二

1、等差数列?an?中，已知a1?1,a2?a5?4,an?33,则n为 50 3

2．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（ A ）

A、23 B、24 C、25 D26

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=6，a4=8，则公差d= （ C ）

A、-1 B、2 C、3 D、-2

4．两个数1与5的等差中项是（ B ）

A、1 B、3 C、2 D、

5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ C ）

A、—2 B、—3 C、—4 D、—5

6．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ B ）

A、1 B、2 C、3 D、4

7．数列?an?的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an，若b3=-2，b10=12，

则a8= （ C ） A、0 B、8 C、3 D、11

8．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ A ）

A、25 B、24 C、20 D、19

9、已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16． (1)求数列{an}的通项公式：

(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an==

（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Sn．

解答：解（1）解：设等差数列{an} 的公差为d，则依题设d＞0 由a2+a7=16．得2a1+7d=16 ①由a3?a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ② 由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0， ∴d=2，代入①得a1=1 ∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1 所以an=2n﹣1 （2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn﹣1 两式相减得an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2 ∴cn+1=2，cn=2（n≥2），即当n≥2时，bn=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2 ∴bn=＜BR＞于是Sn=b1+b2+b3…+bn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即Sn=2n+2﹣6

（三）等差数列的性质

例题7．等差数列?an?中, 若Sn?25,S2n?100，则S3n?＝________；225

例题8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7?14，则a3?a5的值为（ B ）

A．2

B．4

C．7

D．8

例题9、设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 24

例题10、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

例题11、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( C )

B ) 5